Mathematische Grundlagen

Komplexe Zahlen

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Die Gleichung x2 + 1 = 0 hat die Lösung x = Wurzel-1; dies ist jedoch keine reelle Zahl. Damit Gleichungen dieser Art lösbar sind, wird der Zahlen­bereich erweitert zu den komplexen Zahlen.

Definition:  Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form

z = a + bi

mit a, b Element reelle Zahlen sowie i = Wurzel-1.

Hierbei ist a Element reelle Zahlen der Realteil Re(z) und b Element reelle Zahlen der Imaginärteil Im(z) der komplexen Zahl z.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit komplexe Zahlen bezeichnet.

Die reellen Zahlen reelle Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen komplexe Zahlen, nämlich diejenigen komplexen Zahlen, deren Imaginärteil 0 ist.

Die reellen Zahlen lassen sich als Punkte auf der Zahlen­geraden ver­anschaulichen, die komplexen Zahlen dagegen als Punkte in der komplexen oder gaußschen Zahlenebene. Hierbei wird eine komplexe Zahl z = a + bi als Koordinaten­paar (a, b) angesehen. Als Beispiel ist in Bild 1 die komplexe Zahl 2.5 – 3i in die komplexe Zahlenebene einge­zeichnet.

Bild 1: Darstellung einer komplexen Zahl als Punkt in der Ebene
Bild 1: Darstellung einer komplexen Zahl als Punkt in der Ebene

 

Im Folgenden werden die Regeln für das Rechnen mit komplexen Zahlen angegeben.

Addition

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ist

(a + bi) + (c + di)  =  (a + c) + (b + d)i

Sieht man die komplexen Zahlen a + bi und c + di als Paare (a, b) und (c, d) an, so erfolgt die Addition komponenten­weise:

(a, b) + (c, d)  =  (a+c, b+d)

Beispiel:  Es ist

(2.5 – 3i) + (1 + 2i)  =  3.5 – i.

Subtraktion

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ist

(a + bi) – (c + di)  =  (a – c) + (b – d)i

Sieht man die komplexen Zahlen a + bi und c + di als Paare (a, b) und (c, d) an, so erfolgt die Subtraktion komponenten­weise:

(a, b) – (c, d)  =  (a-c, b-d)

Multiplikation

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ergibt sich das Produkt durch Aus­multiplizieren:

(a + bi) · (c + di)  =  ac + adi + bci – bd  =  (ac – bd) + (ad + bc)i

Beispiel:  Es ist

(2.5 – 3i) · (1 + 2i)  =  8.5 + 2i.

Konjugierte Zahl

Definition:  Sei z  =  a + bi eine komplexe Zahl. Dann ist

z  =  a – bi

die zu z konjugierte Zahl. Der Imaginärteil wird also einfach negativ genommen.

Offenbar gilt

z = z

Ferner gilt für reelle Zahlen z, also für z Element reelle Zahlen

z  =  z

Betrag

Der Betrag einer komplexen Zahl lässt sich als Abstand des ent­sprechenden Punktes vom Nullpunkt in der komplexen Zahlenebene deuten.

Sei z  =  a + bi eine komplexe Zahl. Dann ist

|z|  =  Wurzela2 + b2

der Betrag von z. Der Betrag ist eine nicht­negative reelle Zahl. Der Betrag von z ist genau dann 0, wenn z = 0 ist.

Beispiel:  Der Betrag von 2.5 – 3i ist ungefähr 3.095.

Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + bi lässt sich mithilfe der konjugierten Zahl z = a – bi ausrechnen. Es gilt

z · z   =   a2 + b2   =   |z|2

Indem also eine komplexe Zahl mit ihrer konjugierten Zahl multipliziert wird, ergibt sich das Quadrat ihres Betrags. Damit ergibt sich der Betrag einer komplexen Zahl z als

|z|  =  Wurzelz · z

Kehrwert

Die konjugierte Zahl spielt auch bei der Berechnung des Kehrwertes einer komplexen Zahl eine Rolle. Zunächst ist ja nicht klar, welche komplexe Zahl der Bruch

1
a + bi

darstellt. Der Trick besteht darin, diesen Bruch mit der konjugierten Zahl des Nenners zu erweitern.

Sei z eine komplexe Zahl mit z ≠ 0. Für den Kehrwert von z gilt

1
 z 
  =  
1 · z
 z · z 
  =  
z
|z|2

 

Da |z|2 eine reelle Zahl ist, lässt sich das Ergebnis hierdurch kürzen.

 

Beispiel:  

1
3 + 4i
  =  
   1   ·   (3 - 4i)
(3 + 4i)·(3 - 4i)
  =  
3 - 4i
32 + 42
  =  
3 - 4i
25
  =  
3
25
 – 
4
25
i

 

Bemerkung:  Bei einer komplexen Zahl mit dem Betrag 1 ist der Kehrwert gleich der konjugierten Zahl.

Division

Die Division lässt sich auf Multi­plikation mit dem Kehrwert zurückführen. Seien w und z komplexe Zahlen mit z ≠ 0. Dann ist

 w
 z
  =  
w · z
|z|2

Regeln

Satz:  Für alle w, z Element komplexe Zahlen gilt

 

w · z  =  wz

Beweis:  Seien w = a + bi und z = c + di. Durch Aus­multiplizieren der ent­sprechenden konjugierten Zahlen ergibt sich das konjugierte Produkt der Zahlen:

 

w · z  =  (a – bi) · (c – di)  =  ac – adi – bci – bd  =  (ac – bd) – (ad + bc)i

 

  =  (ac – bd) + (ad + bc)i  =  (a + bi) · (c + di)  =  wz

 

Für x Element reelle Zahlen gilt x = x. Daher ergibt sich folgendes Korollar:

Korollar:  Für alle x Element reelle Zahlen, z Element komplexe Zahlen gilt

 

x · z  =  x · z  =  xz

Satz:  Für alle z Element komplexe Zahlen mit z ≠ 0 gilt

1 / z  =  1 / z

d.h. der konjugierte Kehrwert der Zahl ist gleich dem Kehrwert der konjugierten Zahl.

Beweis:  Der Wert 1/|z|2 ist eine reelle Zahl. Mit Hilfe des Korollars und der Formel für den Kehrwert lässt sich der Beweis wie folgt führen:

 

1 / z  =  1/|z|2 · z  =  1/|z|2 · z  =  z / |z|2  =  1 / z

 

Mit Hilfe des ersten Satzes lässt sich folgender Satz zeigen:

Satz:  Für alle w, z Element komplexe Zahlen gilt

 

|w| · |z|  =  |wz|

Beweis:  Es ist

|w| · |z|  =  Wurzelw·w · Wurzelz·z  =  Wurzelw·z·w·z  =  Wurzelwz · wz  =  |wz|

 

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