Mathematische Grundlagen

Komplexe Zahlen

Die Gleichung x² + 1 = 0 hat die Lösung x = Wurzel -1; dies ist jedoch keine reelle Zahl. Damit Gleichungen dieser Art lösbar sind, wird der Zahlenbereich erweitert zu den komplexen Zahlen.

Definition: Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form

z = a + bi

mit a, b Element reelle Zahlen sowie i = Wurzel -1.

Hierbei ist a Element reelle Zahlen der Realteil Re(z) und b Element der Imaginärteil Im(z) der komplexen Zahl z.

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit komplexe Zahlen bezeichnet.

Die reellen Zahlen reelle Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen komplexe Zahlen , nämlich diejenigen komplexen Zahlen, deren Imaginärteil 0 ist.

Die reellen Zahlen lassen sich als Punkte auf der Zahlengeraden veranschaulichen, die komplexen Zahlen dagegen als Punkte in der komplexen oder gaußschen Zahlenebene. Hierbei wird eine komplexe Zahl z = a + bi als Koordinatenpaar (a, b) angesehen. Als Beispiel ist in Bild 1 die komplexe Zahl 2.5 – 3i in die komplexe Zahlenebene eingezeichnet.

Bild 1: Darstellung einer komplexen Zahl als Punkt in der Ebene

Im Folgenden werden die Regeln für das Rechnen mit komplexen Zahlen angegeben.

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ist

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Sieht man die komplexen Zahlen a + bi und c + di als Paare (a, b) und (c, d) an, so erfolgt die Addition komponentenweise:

(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)

Beispiel: Es ist

(2.5 – 3i) + (1 + 2i) = 3.5 – i.

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ist

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Sieht man die komplexen Zahlen a + bi und c + di als Paare (a, b) und (c, d) an, so erfolgt die Subtraktion komponentenweise:

(a, b) – (c, d) = (a-c, b-d)

Seien a + bi und c + di komplexe Zahlen. Dann ergibt sich das Produkt durch Ausmultiplizieren:

(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i

Beispiel: Es ist

(2.5 – 3i) · (1 + 2i) = 8.5 + 2i.

Definition: Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann ist

z = a – bi

die zu z konjugierte Zahl. Der Imaginärteil wird also einfach negativ genommen.

Offenbar gilt

z = z

Ferner gilt für z Element reelle Zahlen

z = z

Der Betrag einer komplexen Zahl lässt sich als Abstand des entsprechenden Punktes vom Nullpunkt in der komplexen Zahlenebene deuten.

Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann ist

|z|

a² + b²

der Betrag von z. Der Betrag ist eine nichtnegative reelle Zahl. Der Betrag von z ist genau dann 0, wenn z = 0 ist.

Beispiel: Der Betrag von 2.5 – 3i ist ungefähr 3.095.

Es gilt

z · z = a² + b² = |z|²

und somit

|z|

z · z

Sei z eine komplexe Zahl mit z ungleich 0. Wegen

z · z = |z|²

ist somit

z

|z|²

Bei einer komplexen Zahl mit dem Betrag 1 ist der Kehrwert gleich der konjugierten Zahl.

Seien w und z komplexe Zahlen mit z ungleich 0. Dann ist

w

z

w · z

|z|²

Satz: Für alle w, z Element komplexe Zahlen gilt

w · z = wz

Beweis: Seien w = a + bi und z = c + di. Durch Ausmultiplizieren der entsprechenden konjugierten Zahlen ergibt sich das konjugierte Produkt der Zahlen: