Mathematische Grundlagen

Menge, Relation, Abbildung

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Menge

Das grundlegendste Konzept in der Mathematik ist die Mengenlehre.

Mengenbildung

Definition:  Eine Menge ist eine Zusammen­fassung von wohlbestimmten und wohl­unter­schiedenen Objekten zu einem Ganzen  (G. Cantorzur Person, 1895).

Die Objekte einer Menge A heißen Elemente von A.

Durch Mengenbildung wird aus mehreren Objekten ein neues Objekt gemacht, die Menge.

Schreibweise:  

a ist Element der Menge A: a Element A (Elementzeichen)
A besteht aus den Elementen a, b und c: A = {a, b, c} (Mengenklammern)

Beispiel:  Beispiele für Mengen sind:

{4, 5, 7}

{1, 2, 3, 4, ... }   (eine Menge mit unendlich vielen Elementen)

{ {a}, {a, b} }   (eine Menge, deren Elemente wiederum Mengen sind)

{ } = leere Menge   (leere Menge)

{ leere Menge }   (eine Menge, deren einziges Element die leere Menge ist)

Für die grundlegenden Mengen von Zahlen werden folgende Bezeichnungen verwendet:

natürliche Zahlen  =  { 1, 2, 3, ... }   (natürliche Zahlen)

natürliche Zahlen0  =  { 0, 1, 2, 3, ... }   (natürliche Zahlen einschließlich der Null)

ganze Zahlen  =  { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }   (ganze Zahlen)

rationale Zahlen   (rationale Zahlen)

reelle Zahlen   (reelle Zahlen)

komplexe Zahlen   (komplexe Zahlen)

 

Es ist auch möglich, Objekte mit einer gemeinsamen Eigenschaft E(x) zu einer Menge zusammen­zufassen.

Schreibweise:  { x  |  E(x) }   (die Menge aller x, für die E(x) gilt)

Beispiel:  { n  |  es existiert k Element natürliche Zahlen : k2 = n }  =  {1, 4, 9, 16, 25, ...}   (Quadratzahlen)

{ x  |  x Element natürliche Zahlen   und   x < 5 }  =  {1, 2, 3, 4}   (alle natürlichen Zahlen, die kleiner als 5 sind)

{ x  |  xungleichx }  =  leere Menge     (leere Menge)

Gehört zu der gemeinsamen Eigenschaft E(x), dass x aus einer schon vorhandenen Grundmenge stammt oder dass x durch Anwendung einer Operation zustande kommt, so lässt sich die Schreibweise abkürzen (vergl. gegenüber vorigem Beispiel)

Beispiel:  { x Element natürliche Zahlen  |  x < 5 }  =  {1, 2, 3, 4}

{ k2  |  k Element natürliche Zahlen }  =  {1, 4, 9, 16, 25, ...}

Operationen auf Mengen

Definition:  Seien A und B Mengen.

Die Vereinigung von A und B ist die Menge

A vereinigt B   =   { x  |  x Element A   oder   x Element B }.

Der Durchschnitt von A und B ist die Menge

A Durchschnitt B   =   { x  |  x Element A   und   x Element B }.

Die Differenz von A und B ist die Menge

A \ B   =   { x  |  x Element A   und   x nicht Element B }.

Beispiel:  {1, 3, 5}  vereinigt  {1, 2, 3}  =  {1, 2, 3, 5}

{1, 3, 5}  Durchschnitt  {1, 2, 3}  =  {1, 3}

{1, 3, 5} \ {1, 2, 3}  =  {5}

Definition:  Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn A Durchschnitt B = leere Menge gilt, d.h. wenn ihr Durchschnitt die leere Menge ist.

Satz:  (Rechenregeln)

Für alle Mengen A, B, C gilt:

(A vereinigt Bvereinigt C  =  A vereinigt (B vereinigt C) (Assoziativität)
(A Durchschnitt BDurchschnitt C  =  A Durchschnitt (B Durchschnitt C)  
A vereinigt B  =  B vereinigt A (Kommutativität)
A Durchschnitt B  =  B Durchschnitt A  
A vereinigt A  =  A (Idempotenz)
A Durchschnitt A  =  A  
A vereinigt (B Durchschnitt C)  =  (A vereinigt BDurchschnitt (A vereinigt C) (Distributivität)
A Durchschnitt (B vereinigt C)  =  (A Durchschnitt Bvereinigt (A Durchschnitt C) 
Teilmenge

Definition:  Seien A und B Mengen. A ist enthalten in B oder A ist Teilmenge von B, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind:

A enthalten B genau dann wenn für alle x : (x Element A  folgt  x Element B).

Beispiel:  {1, 5} enthalten {1, 3, 5}

{2, 4, 6, 8, ... } enthalten natürliche Zahlen

{1, 2, 3} enthalten {1, 2, 3}

Satz:  Es gelten folgende Beziehungen für alle Mengen A, B, C :

A enthalten A,

A enthalten B   und   B enthalten A  genau dann wenn  A = B,

A enthalten B   und   B enthalten C  folgt  A enthalten C

sowie

leere Menge enthalten A.

Komplement

Oft ist eine bestimmte Grundmenge G fest vorgegeben, z.B. G = natürliche Zahlen, und wir betrachten eine Teilmenge A enthalten G. Dann wird die Differenz G \ A, also die Menge aller Elemente von G, die nicht zu A gehören, als das Komplement von A bezeichnet.

Definition:  Sei G eine vorgegebene Menge und sei A enthalten G. Dann ist

A  =  G \ A  =  { x Element G  |  x nicht Element A }

das Komplement der Menge A.

Satz:  (Rechenregeln)

Für die Grundmenge G sowie für alle Mengen A, B enthalten G gilt:

G  =  leere Menge

A  =  A

A vereinigt A  =  G

A vereinigt leere Menge  =  A

A vereinigt G  =  G

A vereinigt B  =  A Durchschnitt B

Die letztgenannte Rechenregel wird als Regel vonDe Morganzur Person bezeichnet.

Indem in den obenstehenden Regeln G und leere Menge sowie  vereinigt  und  Durchschnitt  vertauscht werden, ergeben sich weitere, entsprechende duale Regeln.

Potenzmenge

Definition:  Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A:

Potenzmenge(A)  =  { M | M enthalten A}.

Beispiel:  Potenzmenge({1, 2, 3})  =  { leere Menge, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }

Potenzmenge(leere Menge)  =  { leere Menge }

Die Potenzmenge einer endlichen Menge mit n Elementen hat 2n Elemente. So hat z.B. die Potenzmenge der obigen 3-elementigen Menge 23 = 8 Elemente. Die Potenzmenge der leeren Menge (0 Elemente) hat 20 = 1 Element.

Kartesisches Produkt

Definition:  Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen aus A bzw. B:

AkreuzB  =  { (a, b)  |  a Element Ab Element B }.

Durch Paarbildung wird aus zwei Objekten ein neues Objekt gemacht, das Paar. Anders als bei der Mengenbildung kommt es hier jedoch auf die Reihenfolge der Komponenten an; die Komponenten brauchen auch nicht verschieden zu sein.

Die Paarbildung kann auf die Mengenbildung zurückgeführt werden, indem das geordnete Paar (ab) als abkürzende Schreibweise für die Menge { {a}, {ab} } angesehen wird (nach K. Kuratowskizur Person).

Zwei Paare (a, b) und (c, d) sind gleich, wenn a = c und b = d ist.

Definition:  Das kartesische Produkt dreier Mengen A, B und C ist die Menge aller geordneten Tripel von Elementen aus A, B bzw. C:

AkreuzBkreuzC   =   { (a, b, c)  |  a Element Ab Element Bc Element C}.

Das n-fache kartesische Produkt einer Menge A ist die Menge aller n-Tupel von Elementen aus A:

An  =  Akreuz . . . kreuzA   =   { (a0, ..., an-1)  |  ai Element Ai = 0, ..., n-1}.

Es ist

A1  =  A .

 

Relation

Eine Relation ist nichts anderes als eine Teilmenge eines kartesischen Produkts.

Definition:  Seien A und B Mengen. Eine Teilmenge R enthalten AkreuzB heißt (zweistellige) Relation zwischen A und B. Gilt A = B, so heißt R Relation auf A.

Schreibweise:  Statt (a, bElement R schreibt man im allgemeinen a R b; statt des Buchstabens R verwendet man bei Relationen meist spezielle Symbole: = , kleiner gleich, < ,  enthalten , ~ , ...

Beispiel:  Die folgende Mengen stellen die Kleiner- bzw. die Gleichheits­relation auf der Menge natürliche Zahlen dar:

<   =  { (1,2), (1,3), (2,3), (1,4) ... }  enthalten  natürliche Zahlenkreuznatürliche Zahlen

=   =  { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) ... }  enthalten  natürliche Zahlenkreuznatürliche Zahlen

Eigenschaften von Relationen

Definition:  Sei R eine Relation auf einer Menge AR heißt

reflexiv  genau dann wenn   für alle a Element A  : (a, aElement R
anti­symmetrisch  genau dann wenn   für alle a, b Element A  : (a,bElement R  und  (b, aElement R  folgt  a = b
transitiv  genau dann wenn   für alle a, b, c Element A  : (a, bElement R und (b, cElement R  folgt  (a, cElement R
symmetrisch  genau dann wenn   für alle a, b Element A  : (a, bElement R genau dann wenn (b, aElement R
irreflexiv  genau dann wenn   für alle a Element A  : (a, anicht Element R
total  genau dann wenn   für alle a, b Element A  : aungleichb  folgt  (a, bElement R  oder  (b, aElement R

Beispiel:  Sei M die Menge aller Menschen. Die Relation verheiratet ("ist verheiratet mit") auf M ist symmetrisch (wenn a mit b verheiratet ist, dann ist auch b mit a verheiratet), irreflexiv (niemand ist mit sich selbst verheiratet), aber nicht total (es gibt unverheiratete Menschen).

Die Relation ~ ("hat dieselben Eltern wie") auf M ist reflexiv (jeder hat dieselben Eltern wie er selbst), symmetrisch (wenn a dieselben Eltern hat wie b, dann hat auch b dieselben Eltern wie a) und transitiv (wenn a dieselben Eltern hat wie b und b dieselben Eltern hat wie c, dann hat auch a dieselben Eltern wie c).

Die Relation  eckig echt enthalten  ("ist Vorfahre von") auf M ist anti­symmetrisch (wenn a Vorfahre von b ist und b Vorfahre von a ist, dann sind a und b gleich – die Aussage ist wahr, da die ersten beiden Bedingungen nie gleichzeitig eintreten können), transitiv (wenn a Vorfahre von b ist und b Vorfahre von c ist, dann ist a Vorfahre von c) und irreflexiv (niemand ist Vorfahre von sich selbst).

Eine (nichtleere) Relation kann nicht gleichzeitig reflexiv und irreflexiv sein. Aber es gibt Relationen, die weder reflexiv noch irreflexiv sind. Ebenso gibt es Relationen, die weder symmetrisch noch anti­symmetrisch sind. Die Gleichheits­relation ist dagegen gleichzeitig symmetrisch und anti­symmetrisch. Insofern verhalten sich die Begriffe nicht komplementär zueinander. Wir können nicht folgern: Die Relation ist nicht symmetrisch, also ist sie anti­symmetrisch.

Beispiel:  Sei A = {1, 2, 3}. Die folgenden Mengen R1, R2 und R3 sind Relationen auf A, und es gilt

R1  =  { (1, 1), (1, 2) }   ist nicht reflexiv und nicht irreflexiv

R2  =  { (1, 2), (2, 1), (1, 3) }   ist nicht symmetrisch und nicht anti­symmetrisch

R3  =  { (1, 1), (2, 2), (3, 3) }   ist symmetrisch und anti­symmetrisch

Definition:  Eine Relation heißt Halbordnung, wenn sie reflexiv, anti­symmetrisch und transitiv ist.

Eine Relation heißt strenge Halbordnung, wenn sie irreflexiv und transitiv ist.1)

Eine Relation heißt lineare Ordnung oder totale Ordnung oder Ordnung, wenn sie Halbordnung ist und zusätzlich noch total ist.

Eine Relation heißt Äquivalenz­relation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Beispiel:  Die Relationen  kleiner gleich  und  |  ("teilt") auf natürliche Zahlen sind Halbordnungen,  kleiner gleich  ist sogar totale Ordnung.

Die Relation   kongruent n ("ist kongruent modulo n", d.h. liefert bei ganzzahliger Division durch n denselben Rest) ist eine Äquivalenz­relation auf ganze Zahlen.

Die Relation  eckig echt enthalten  auf der Menge der Menschen M ist eine strenge Halbordnung. Die Relation ~ auf M ist eine Äquivalenz­relation.

Äquivalenz­relationen auf einer Menge A bewirken eine Klassen­einteilung von A, d.h. eine Zerlegung von A in paarweise disjunkte Mengen (Äquivalenz­klassen).

Die Äquivalenz­relation  kongruent 2 bewirkt eine Klassen­einteilung von ganze Zahlen in die geraden und die ungeraden Zahlen. Die Äquivalenz­klassen der Relation ~ auf der Menge der Menschen sind die Geschwister.

Operationen auf Relationen

Definition:  Das Produkt zweier Relationen R, T enthalten AkreuzA ist die Relation

RT  =  { (a, c)  |  es existiert b Element A :  (a, bElement R  und  (b, cElement T }.

Potenzen einer Relation R enthalten AkreuzA sind wie folgt definiert:

R0  =  { (a, a) | a Element A },

Ri  =  Ri-1 R   für alle i Element natürliche Zahlen.

Definition:  Die transitive Hülle einer Relation R ist die Relation

R+  =  Vereinigung i Element IN  Ri   =   R  vereinigt  R2  vereinigt  R3  vereinigt  . . .

Die reflexive Hülle einer Relation R ist die Relation

R?  =  R0  vereinigt  R.

Die reflexive und transitive Hülle einer Relation R ist die Relation

R*  =  Vereinigung i Element INo  Ri   =   R0  vereinigt  R+ .

Die Hülle einer Relation R bezüglich einer Eigenschaft ergibt sich, indem die fehlenden Elemente hinzugenommen werden. D.h. die Hülle ist die kleinste Relation, die R umfasst und die betreffende Eigenschaft hat.

Aus einer strengen Halbordnung R lässt sich eine Halbordnung H machen, indem die reflexive Hülle H = R0 vereinigt R gebildet wird. Umgekehrt ergibt sich die zu einer Halbordnung H gehörige strenge Halbordnung R, indem R = H \ H0 gebildet wird.

 

Definition:  Die inverse Relation von R enthalten AkreuzA ist die Relation

R -1  =  { (b, a)  |  (a, bElement R }.

Beispiel:  Sei M die Menge der Menschen und ist Elternteil von die Relation "ist Elternteil von" auf M. Die Relation ist Elternteil von-1 bedeutet dann "ist Kind von", die Relation ist Elternteil von2 bedeutet "ist Großeltern­teil von" und die Relation ist Elternteil von+ ist identisch mit der Relation  eckig echt enthalten  ("ist Elternteil oder Großeltern­teil oder Ur­groß­eltern­teil oder ..., d.h. ist Vorfahre von").

Das Produkt der Relationen ist Elternteil von ("ist Elternteil von") und verheiratet ("ist verheiratet mit") ist die Relation ist Elternteil vonverheiratet. Zwei Menschen a und c stehen in der Relation ist Elternteil vonverheiratet, wenn es einen Menschen b gibt, so dass a Elternteil von b ist und b mit c verheiratet ist. Damit ist a Schwieger­mutter oder Schwieger­vater von c.

 

Abbildung

Abbildungen sind spezielle zweistellige Relationen. Während eine Relation eine völlig beliebige Teilmenge eines kartesischen Produktes ist, werden an eine Abbildung zwei bestimmte Bedingungen gestellt. Dies kommt in der folgenden Definition zum Ausdruck.

Definition:  Seien A und B Mengen. Eine Abbildung ist eine Relation f enthalten AkreuzB mit den folgenden Eigenschaften (1) und (2). Wegen der Gültigkeit dieser Eigenschaften ist bei Abbildungen folgende Schreibweise üblich:

f : A Pfeil B statt f enthalten AkreuzB und
f(a) = b statt (a, bElement f. 

 

 

(1) eindeutig für alle a, a' Element A :   a = a'    folgt  f(a) = f(a')

 

eindeutig
(von jedem Punkt geht höchstens ein Pfeil aus)

 

(2) total definiert für alle a Element A  es existiert b Element B :   f(a) = b

 

total definiert
(von jedem Punkt geht mindestens ein Pfeil aus)

 

(1) und (2) zusammen ergeben: von jedem Punkt geht genau ein Pfeil aus (die Abbildung ist wohldefiniert). Eine Relation, die nur (1) erfüllt, wird als partielle Abbildung bezeichnet.

(1) + (2) Abbildung

 

Abbildung
(von jedem Punkt geht genau ein Pfeil aus)

Genau wie eine Relation ist also eine Abbildung nichts anderes als eine Menge von Paaren, die allerdings die genannten Bedingungen (1) und (2) erfüllen muss. Ein anderes Wort für Abbildung ist Funktion. Gelegentlich trifft man auf Formulierungen wie "die Funktion y = 3x2 ". Gemeint ist hierbei "die Funktion mit der Funktions­gleichung y = 3x2 ", und dies ist die Menge { (x, y)  |  y = 3x2}, also die Menge aller Paare (x, y), die der Funktions­gleichung genügen.

 

Definition:  Sei f : A Pfeil B eine Abbildung, d.h. f erfüllt (1) und (2). Die Abbildung f heißt injektiv, wenn f die folgende Eigenschaft (3) hat; f heißt surjektiv, wenn f die folgende Eigenschaft (4) hat; f heißt bijektiv, wenn f beide Bedingungen (3) und (4) erfüllt.

(3) injektiv für alle a, a' Element A :   aungleicha'  folgt  f(a)ungleichf(a')

 

injektiv
(bei jedem Punkt kommt höchstens ein Pfeil an)

 

(4) surjektiv für alle b Element B  es existiert a Element Af(a) = b

 

surjektiv
(bei jedem Punkt kommt mindestens ein Pfeil an)

 

(3) und (4) zusammen ergeben: bei jedem Punkt kommt genau ein Pfeil an (die Abbildung ist bijektiv). Dies bedeutet, dass die inverse Relation f -1 der Abbildung f auch eine Abbildung ist (sogar ebenfalls eine bijektive Abbildung).

 

(3) + (4) bijektiv

 

bijektiv
(bei jedem Punkt kommt genau ein Pfeil an)

 

Tatsächlich wissen schon kleine Kinder, was eine bijektive Abbildung ist. Beim Zählen nämlich kommt es darauf an, eine bijektive Abbildung herzustellen zwischen der Menge der Gegenstände, die gezählt werden sollen, und der Menge {1, ..., n} (vergl. nächster Abschnitt: Mächtigkeit einer Menge). Sollen beispielsweise Stoff­tiere gezählt werden, so stellt das Kind die Abbildung her, indem es unter Beachtung der Bedingungen (1) bis (4) jeweils auf ein Stoff­tier zeigt und dabei eine Zahl sagt.

Ganz kleine Kinder, die noch nicht richtig zählen können, verletzen regelmäßig mindestens eine der Bedingungen (1) bis (4). So zeigt das Kind etwa mehrfach auf ein Stoff­tier oder vergisst eines. Oder es zeigt zwar auf alle Stoff­tiere, sagt dabei aber die Zahlen "1, 2, 3, 2, 4". Oder es sagt die Zahlen "1, 2, 5, 6, 8".

 

Mächtigkeit, Folge, Permutation

Definition:  Die Mächtigkeit |A| einer Menge A ist wie folgt definiert:

|A|  =   geschweifte Klammer
0    falls A = leere Menge,
n Element natürliche Zahlen      falls es eine bijektive Abbildung  f : {1, ..., n}DoppelpfeilA  gibt,
hebräisches aleph0    falls es eine bijektive Abbildung  f : natürliche ZahlenDoppelpfeilA  gibt,
Mächtigkeit des Kontinuums    falls es eine bijektive Abbildung  f : reelle ZahlenDoppelpfeilA  gibt.

Eine Menge mit der Mächtigkeit n Element natürliche Zahlen0 heißt endliche Menge. Bei endlichen Mengen ist die Mächtigkeit gleich der Anzahl der Elemente. Eine Menge, die nicht endlich ist, heißt unendliche Menge.

Bei unendlichen Mengen kann man den Begriff der Mächtigkeit nicht mehr anschaulich mit der Anzahl der Elemente verbinden. So sind etwa die Mengen natürliche Zahlen und ganze Zahlen gleich mächtig, obwohl natürliche Zahlen anschaulich "weniger" Elemente enthält als ganze Zahlen. Andererseits sind auch wieder nicht alle unendlichen Mengen gleich mächtig.

Definition:  Zwei Mengen A und B sind gleich mächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt:

|A| = |B|  genau dann wenn  es existiert  bijektive Abbildung  f : ADoppelpfeilB

 

Offenbar gibt es eine bijektive Abbildung zwischen natürliche Zahlen und ganze Zahlen, etwa gemäß folgender Wertetabelle:

1234567...
01-12-23-3...

 

Andererseits gibt es keine bijektive Abbildung zwischen den unendlichen Mengen natürliche Zahlen und reelle Zahlen, daher sind diese beiden Mengen nicht gleich mächtig. Es gibt also offenbar verschiedene Grade des Unendlichen.

Die Mächtigkeit hebräisches aleph0 wird als abzählbar unendlich bezeichnet. Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn sie gleich mächtig zu den natürlichen Zahlen ist. Die Bezeichnung hebräisches aleph0 geht auf Cantor zurück. Das Zeichen hebräisches aleph (aleph) ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets. Die Mächtigkeit hebräisches aleph0 ist die kleinste Mächtigkeit, die eine unendliche Menge haben kann.

Eine Menge, die entweder endlich oder abzählbar unendlich ist, wird als abzählbar bezeichnet. Offenbar ist eine Menge M abzählbar, wenn es eine surjektive Abbildung von natürliche Zahlen auf M gibt.

 

Eine unendliche Menge, die nicht abzählbar unendlich ist, wird als überabzählbar unendlich bezeichnet. So ist beispielsweise reelle Zahlen überabzählbar unendlich. Das Zeichen Mächtigkeit des Kontinuums bedeutet "Mächtigkeit des Kontinuums".

Beispiel:  Einige Beispiele für die Mächtigkeit von Mengen:

| {1, 2, 5, 7} |  =  4

| {2, 4, 6, 8, ... } |  =  hebräisches aleph0

|ganze Zahlen|  =  hebräisches aleph0

|rationale Zahlen|  =  hebräisches aleph0

| [0,1] |  =  Mächtigkeit des Kontinuums

|komplexe Zahlen|  =  Mächtigkeit des Kontinuums

|reelle Zahlenn|  =  Mächtigkeit des Kontinuums

|Potenzmenge(natürliche Zahlen)|  =  Mächtigkeit des Kontinuums

 

Definition:  Sei A eine Menge. Unter einer Folge versteht man eine Abbildung

anatürliche Zahlen0 Pfeil A.

Eine endliche Folge ist eine Abbildung

a :  {0, ..., n-1} Pfeil A,   n Element natürliche Zahlen0.

Hierbei ist n die Länge der endlichen Folge.

Wir schreiben endliche Folgen so: a = a0, ..., an-1. Endliche Folgen lassen sich auch als n-Tupel (a0, ..., an-1) auf­fassen, d.h. als Elemente des kartesischen Produktes An.

 

Definition:  Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung

p :  {0, ..., n-1} Pfeil {0, ..., n-1},   n Element natürliche Zahlen.

Beispiel:  Die endliche Folge  p = 4, 1, 2, 0, 3  ist eine Permutation.

 

Literatur

Bücher

 


1)  Der Begriff "strenge Halbordnung" ist etwas unglücklich, da er wie "Halbordnung, und zusätzlich noch streng" klingt. Tatsächlich ist aber eine strenge Halbordnung nicht reflexiv und daher keine Halbordnung im Sinne der obigen Definition, sondern eine "andere Art von Halbordnung".

 

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