Mathematische Grundlagen

Quaternionen

 aufwärts

Erstmals beschrieben wurden Quaternionen 1853 von W. R. Hamiltonzur Person, heute finden sie Anwendung in der Computergrafik.

Definition:  Eine Quaternion ist ein Quadrupel  q = (a, b, c, d)   mit  a, b, c, d Element reelle Zahlen. Die Menge der Quaternionen wird mit Quaternionen bezeichnet.

In Quaternionen sind in bestimmter Weise eine Addition und eine Multiplikation definiert. Addition und Multiplikation in Quaternionen lassen sich auf die Addition bzw. Multiplikation von reellen Zahlen zurückführen.

Eine Möglichkeit hierzu ist, Quaternionen als hyperkomplexe Zahlen aufzufassen (mit 3 Imaginärteilen). Einer Quaternion (a, b, c, d) entspricht dann der Term

a + bi + cj + dk

Hierbei sind i, j und k drei unterschiedliche Arten von imaginären Zahlen. Addition und Multiplikation von Quaternionen ergeben sich nun durch Anwendung der Rechenregeln für Terme reeller Zahlen, wobei für die Multiplikation von i, j und k folgende Verknüpfungstafel zugrunde gelegt wird:

 

  ·    i    j    k  
i-1k-j
j-k-1i
kj-i-1

 

Wie aus der Verknüpfungstafel ersichtlich, ist die Multiplikation nicht kommutativ, denn es ist z.B. i·j = k, aber j·i = -k.

Satz:  Die Menge der Quaternionen (Quaternionen, +, ·) bildet einen Schiefkörper.

Quaternionen lassen sich auch als 2×2-Matrizen komplexer Zahlen oder 4×4-Matrizen reeller Zahlen auf­fassen. Mit den Verknüpfungen Matrixaddition und Matrixmultiplikation ergibt sich derselbe Schiefkörper.

Einer Quaternion (a, b, c, d) entspricht hierbei die komplexe 2×2-Matrix

eckige Klammer auf
a + bi   c + di
-c + dia – bi
eckige Klammer zu

bzw. die reelle 4×4-Matrix

eckige Klammer auf
ab -d -c
-ba-cd
dcab
c -d-ba
eckige Klammer zu

Definition:  Die zu einer Quaternion  q  =  (a, b, c, dkonjugierte Quaternion ist

q  =  (a, -b, -c, -d)

Der Betrag von q ist definiert als

|q|  =  Wurzelq·q  =  Wurzela2 + b2 + c2 + d2

Behauptung:  Die zu einer Quaternion q multiplikativ inverse Quaternion ist

 

q-1  =   
q
|q|2

Beweis:  Es ist

q·q-1  =  
q·q
|q|2
  =  
q·q
q·q 
  =  1

Als unmittelbare Folgerung ergibt sich, dass für eine Quaternion q mit dem Betrag 1 gilt:   q-1  =  q.

Berechnung von Rotationen mit Quaternionen

Eine Rotation um die x-Achse um einen Winkel α wird durch die Quaternion q  =  (cos(α/2), sin(α/2), 0, 0) repräsentiert. Ein Punkt P = (x0, y0, z0) wird durch die Quaternion p  =  (0, x0, y0, z0) repräsentiert. Der rotierte Punkt p° ergibt sich als

p°  =  q · p · q

Die Rotation um einen beliebigen normierten Vektor (x, y, z) um einen Winkel α wird durch die Quaternion

q  =  (cos(α/2), x·sin(α/2), y·sin(α/2), z·sin(α/2))

repräsentiert.

Tatsächlich repräsentiert jede Quaternion mit dem Betrag 1 eine Rotation. Die Menge der so repräsentierten Rotationen bildet also die Oberfläche einer Einheitskugel im reelle Zahlen4. Zwischen zwei Rotationen lässt sich interpolieren, indem zwischen zwei Punkten auf der Kugeloberfläche interpoliert wird.

Literatur

[TL 94]K.D. Tönnies, H.U. Lemke: 3D-Computergrafische Darstellungen. Oldenbourg (1994)

 

Weiter: up

 

homeH.W. Lang   Hochschule Flensburg   lang@hs-flensburg.de   Impressum   Datenschutz   ©   Created: 22.08.2000   Updated: 04.06.2018
Valid HTML 4.01 Transitional

Hochschule Flensburg
Campus Flensburg

Informatik in Flensburg studieren...

 

Neu gestaltetes Studienangebot:

Bachelor-Studiengang
Angewandte Informatik

mit Schwerpunkten auf den Themen Software, Web, Mobile, Security und Usability.

Ihr Abschluss
nach 7 Semestern:
Bachelor of Science

 

Ebenfalls ganz neu:

Master-Studiengang
Angewandte Informatik

Ein projektorientiertes Studium auf höchstem Niveau mit den Schwerpunkten Internet-Sicherheit, Mobile Computing und Human-Computer Interaction.

Ihr Abschluss
nach 3 Semestern:
Master of Science

 

Weitere Informatik-Studienangebote an der Hochschule Flensburg:

Medieninformatik

Wirtschaftsinformatik