Mathematische Grundlagen

Quaternionen

 aufwärts

Erstmals beschrieben wurden Quaternionen 1853 von W. R. Hamiltonzur Person, heute finden sie Anwendung in der Computer­grafik.

Definition:  Eine Quaternion ist ein Quadrupel  q = (a, b, c, d)   mit  a, b, c, d Element reelle Zahlen. Die Menge der Quaternionen wird mit Quaternionen bezeichnet.

In Quaternionen sind in bestimmter Weise eine Addition und eine Multi­plikation definiert. Addition und Multi­plikation in Quaternionen lassen sich auf die Addition bzw. Multi­plikation von reellen Zahlen zurückführen.

Eine Möglichkeit hierzu ist, Quaternionen als hyper­komplexe Zahlen aufzufassen (mit 3 Imaginär­teilen). Einer Quaternion (a, b, c, d) entspricht dann der Term

a + bi + cj + dk

Hierbei sind i, j und k drei unter­schiedliche Arten von imaginären Zahlen. Addition und Multi­plikation von Quaternionen ergeben sich nun durch Anwendung der Rechenregeln für Terme reeller Zahlen, wobei für die Multi­plikation von i, j und k folgende Ver­knüpfungstafel zugrunde­gelegt wird:

 

  ·    i    j    k  
i-1k-j
j-k-1i
kj-i-1

 

Wie aus der Ver­knüpfungstafel ersichtlich, ist die Multi­plikation nicht kommutativ, denn es ist z.B. i·j = k, aber j·i = -k.

Satz:  Die Menge der Quaternionen (Quaternionen, +, ·) bildet einen Schiefkörper.

Quaternionen lassen sich auch als 2×2-Matrizen komplexer Zahlen oder 4×4-Matrizen reeller Zahlen auffassen. Mit den Ver­knüpfungen Matrix­addition und Matrix­multiplikation ergibt sich derselbe Schiefkörper.

Einer Quaternion (a, b, c, d) entspricht hierbei die komplexe 2×2-Matrix

eckige Klammer auf
a + bi   c + di
-c + dia – bi
eckige Klammer zu

bzw. die reelle 4×4-Matrix

eckige Klammer auf
ab -d -c
-ba-cd
dcab
c -d-ba
eckige Klammer zu

Definition:  Die zu einer Quaternion  q  =  (a, b, c, dkonjugierte Quaternion ist

q  =  (a, -b, -c, -d)

Der Betrag von q ist definiert als

|q|  =  Wurzelq·q  =  Wurzela2 + b2 + c2 + d2

Behauptung:  Die zu einer Quaternion q multi­plikativ inverse Quaternion ist

 

q-1  =   
q
|q|2

Beweis:  Es ist

q·q-1  =  
q·q
|q|2
  =  
q·q
q·q 
  =  1

Als unmittelbare Folgerung ergibt sich, dass für eine Quaternion q mit dem Betrag 1 gilt:   q-1  =  q.

Berechnung von Rotationen mit Quaternionen

Eine Rotation um die x-Achse um einen Winkel α wird durch die Quaternion q  =  (cos(α/2), sin(α/2), 0, 0) repräsentiert. Ein Punkt P = (x0, y0, z0) wird durch die Quaternion p  =  (0, x0, y0, z0) repräsentiert. Der rotierte Punkt p° ergibt sich als

p°  =  q · p · q

Die Rotation um einen beliebigen normierten Vektor (x, y, z) um einen Winkel α wird durch die Quaternion

q  =  (cos(α/2), x·sin(α/2), y·sin(α/2), z·sin(α/2))

repräsentiert.

Tatsächlich repräsentiert jede Quaternion mit dem Betrag 1 eine Rotation. Die Menge der so repräsentierten Rotationen bildet also die Oberfläche einer Einheits­kugel im reelle Zahlen4. Zwischen zwei Rotationen lässt sich inter­polieren, indem zwischen zwei Punkten auf der Kugel­oberfläche interpoliert wird.

Literatur

[TL 94]K.D. Tönnies, H.U. Lemke: 3D-Computergrafische Darstellungen. Oldenbourg (1994)

 

Weiter: up

 

homeH.W. Lang   Hochschule Flensburg   lang@hs-flensburg.de   Impressum   ©   Created: 22.08.2000   Updated: 21.05.2016
Valid HTML 4.01 Transitional


Campus Flensburg

Informatik in Flensburg studieren...

 

Neu gestaltetes Studienangebot:

Bachelor-Studiengang
Angewandte Informatik

mit Schwerpunkten auf den Themen Software, Web, Mobile, Security und Usability.

Ihr Abschluss
nach 7 Semestern:
Bachelor of Science

 

Ebenfalls ganz neu:

Master-Studiengang
Angewandte Informatik

Ein projektorientiertes Studium auf höchstem Niveau mit den Schwerpunkten Internet-Sicherheit, Mobile Computing und Human-Computer Interaction.

Ihr Abschluss
nach 3 Semestern:
Master of Science

 

Weitere Informatik-Studienangebote an der Hochschule Flensburg:

Medieninformatik

Wirtschaftsinformatik