Mathematische Grundlagen

Ring, Körper

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Wir betrachten Mengen mit zwei Ver­knüpfungen. Zum Beispiel ist (ganze Zahlen, +, ·) eine Menge mit zwei Ver­knüpfungen (Addition und Multi­plikation). Solche Mengen stellen im allgemeinen algebraische Strukturen dar, in denen bestimmte Rechenregeln gelten. Je nach dem, welche Rechenregeln gelten und welche nicht, lassen sich unter­schiedliche Strukturen identifizieren (Ring, Körper, ...). Die Rechenregeln, die wir von den reellen Zahlen her gewohnt sind, gelten beispiels­weise in einem Körper.

Ring

Definition:  Sei (M, +, ·) eine Menge mit zwei Ver­knüpfungen. M ist ein Ring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Beispiel:  Die Menge der ganzen Zahlen (ganze Zahlen, +, ·) ist ein Ring.

In Anlehnung an ganze Zahlen bezeichnen wir auch allgemein in einem Ring die eine Verknüpfung als "Addition" und die andere Verknüpfung als "Multi­plikation". Entsprechend heißt auch das neutrale Element der Addition das Nullelement. Das zu einem Element a additiv inverse Element wird mit -a bezeichnet.

Die Rechenregeln, die in einem Ring gelten, sind zum einen die obigen Bedingungen, die Ringaxiome. Weitere Rechenregeln lassen sich aus den Ringaxiomen herleiten; ein Beispiel ist die folgende Regel:

Satz:  Sei (M, +, ·) ein Ring mit Nullelement 0. Dann gilt für alle a Element M:

a·0  =  0.

Beweis:  

a·0  | + 0
 a·0 + 0 | 0 = a·0 + (-(a·0))
 a·0 + a·0 + (-(a·0)) | a ausklammern (Distributiv­gesetz)
 a·(0 + 0) + (-(a·0)) | 0 + 0 = 0
 a·0 + (-(a·0)) | a·0 + (-(a·0)) = 0
 =  0  

Ring mit Eins

Definition:  Ein Ring (M, +, ·) heißt Ring mit Eins, wenn (M, ·, 1) ein Monoid ist.

Beispiel:  Die Menge der ganzen Zahlen (ganze Zahlen, +, ·) ist ein Ring mit Eins. Die Zahl 1 ist das neutrale Element der Multi­plikation.

In Anlehnung an ganze Zahlen bezeichnen wir auch allgemein das neutrale Element der Multi­plikation als Einselement. Es folgt wiederum ein Beispiel für eine Rechenregel, die in einem Ring mit Eins gilt.

Satz:  Sei (M, +, ·) ein Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1. Dann gilt für alle a Element M:

a·(-1)  =  -a,

d.h. wenn a mit dem additiv inversen Element von 1 multi­pliziert wird, kommt das additiv inverse Element von a heraus.

Beweis:  

a·(-1)  | + 0
 a·(-1) + 0 | 0 = a + (-a)
 a·(-1) + a + (-a) | a = a·1
 a·(-1) + a·1 + (-a) | a ausklammern (Distributiv­gesetz)
 a·((-1) + 1) + (-a) | (-1) + 1 = 0
 a·0 + (-a) | a·0 = 0
 =  0 + (-a) | 0 + weglassen
 =  -a  

Körper

Definition:  Sei (M, +, ·) ein Ring mit Eins. M ist ein Körper, wenn (M \ {0}, ·, 1) eine abelsche Gruppe ist.

Beispiel:  Die Menge der rationalen Zahlen (rationale Zahlen, +, ·) ist ein Körper. Die Menge der reellen Zahlen (reelle Zahlen, +, ·) ist ein Körper. Die Menge der komplexen Zahlen (komplexe Zahlen, +, ·) ist ein Körper.

Ein endlicher Körper mit nur zwei Elementen ist (boolesche Werte, entweder oder, ·); hierbei ist boolesche Werte = {0, 1} und die Verknüpfung entweder oder bezeichnet die Addition modulo 2 (also 1 + 1 = 0).

In einem Körper gelten die Rechenregeln, die wir von den reellen Zahlen her gewohnt sind. Diese sind zum einen die Körperaxiome (d.h. die genannten Bedingungen, die für einen Körper gelten müssen), zum anderen weitere Regeln, die daraus hergeleitet werden können.

Schiefkörper

In einem Körper ist die Multi­plikation kommutativ. Wird diese Bedingung fallen­gelassen, ergibt sich eine algebraische Struktur, die als Schiefkörper bezeichnet wird.

Definition:  Sei (M, +, ·) ein Ring mit Eins. M ist ein Schiefkörper, wenn (M \ {0}, ·, 1) eine Gruppe ist.

Natürlich ist jeder Körper auch ein Schiefkörper. Aber gibt es auch Schiefkörper, die keine Körper sind? Ein inter­essantes Beispiel ist die Menge der Quaternionen (Quaternionen, +, ·).

Integritätsbereich

In einem Körper hat jedes Element außer der 0 ein multi­plikativ inverses Element. Wird diese Bedingung fallen­gelassen, ergibt sich eine algebraische Struktur, die als Integritäts­bereich bezeichnet wird.

Definition:  Ein Ring (M, +, ·) heißt Integritäts­bereich, wenn (M \ {0}, ·, 1) ein kommutatives Monoid ist.

In einem Integritäts­bereich ist nicht nur M, sondern sogar M \ {0} bezüglich der Multi­plikation abge­schlossen. Daraus folgt, dass der Ring M nullteiler­frei ist.

Definition:  Sei (M, +, ·) ein Ring mit Nullelement 0. M heißt nullteiler­frei, wenn es keine zwei Elemente a ≠ 0, b ≠ 0 gibt mit a·b = 0. Oder anders ausgedrückt, wenn für beliebige a, b Element M aus a·b = 0 folgt a = 0 oder b = 0.

Diese scheinbar selbst­verständliche Eigenschaft, nullteiler­frei zu sein, ist nicht in jedem Ring erfüllt. So ist beispiels­weise der Ring (ganze Zahlen10 +, ·) der Restklassen modulo 10 mit den Ver­knüpfungen Addition und Multi­plikation modulo 10 nicht nullteiler­frei, denn in ganze Zahlen10 gilt beispiels­weise 4 · 5 = 0.

Die Menge der ganzen Zahlen (ganze Zahlen, +, ·) ist jedoch nullteiler­frei.

Beispiel:  Die Menge der ganzen Zahlen (ganze Zahlen, +, ·) ist ein Integritäts­bereich. Ferner ist (K[x], +, ·), die Menge der Polynome über einem Körper K, ein Integritäts­bereich.

Zusammenfassung

Wir haben eine ganze Hierarchie algebraischer Strukturen kennen gelernt. Zunächst waren es nur Strukturen mit einer Verknüpfung (Halbgruppe, Monoid, Gruppe, abelsche Gruppe), dann Strukturen mit zwei Ver­knüpfungen (Ring, Ring mit Eins, Integritäts­bereich, Schiefkörper, Körper).

Das folgende Schema gibt eine Übersicht über die Hierarchie der Strukturen. Der Integritäts­bereich liegt zwischen Ring mit Eins und Körper, lässt sich jedoch nicht genau einer der angegebenen multi­plikativen Strukturen zuordnen.

 

Addition  Multi­plikation
  
Halbgruppe  
|  
Monoid  
|  
Gruppe  
|  
abelsche Gruppe  
|  
Ring ––– Halbgruppe
|  |
Ring mit Eins ––– Monoid
|  |
Schiefkörper ––– Gruppe
|  |
Körper ––– abelsche Gruppe

 

Aufgaben

Aufgabe 1:  Zeigen Sie (unter Benutzung des Satzes aus Abschnitt Ring mit Eins), dass in einem Ring mit Eins für alle a, b folgendes gilt:

(-ab  =  -(a·b)

-(a + b)  =  (-a) + (-b)

Aufgabe 2:  Ist jeder Körper ein Integritäts­bereich?

Aufgabe 3:  Ist jeder Schiefkörper nullteiler­frei?

 

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