Mathematische Grundlagen

Vektor­raum

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Vektor­raum

Ein Vektor­raum V über einem Körper K ist im wesentlichen eine Menge, deren Elemente man addieren und mit den Elementen von K multiplizieren kann. Die Elemente von V heißen Vektoren; die Elemente von K werden im Zusammenhang mit dem Vektor­raum Skalare genannt.

Definition:  Sei K ein Körper. Eine Menge V heißt Vektor­raum über K, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. (V, +, 0) ist eine abelsche Gruppe,
  2. es ist eine Verknüpfung  ·  : KkreuzV Pfeil V  definiert mit folgenden Eigen­schaften:
    1. ist 1 das Einselement von K, so gilt für alle v Element V
      • v  =  v,
    2. für alle j, k Element K und v Element V gilt
      • (j + kv  =  j·v + k·v     und
      • (j·kv  =  j·(k·v),
    3. für alle k Element K und u, v Element V gilt
      • k·(u + v)  =  k·u + k·v.

Wir verwenden dasselbe Zeichen + für die Addition in K wie auch für die Addition in V, ebenso dasselbe Zeichen · für die Multiplikation in K wie auch für die Multiplikation zwischen K und V. Auch die 0 bezeichnet einerseits das Nullelement 0 Element K und andererseits den Nullvektor 0 Element V.

Beispiel:  Die Menge der Paare (a, b) mit a, b Element K ist ein Vektor­raum über K, d.h. V = KkreuzK.

Hierbei sind die Addition in V und die Multiplikation zwischen K und V komponenten­weise definiert:

(a, b) + (c, d)  =  (a+c, b+d)     und

k·(a, b)  =  (k·a, k·b)

für alle (a, b), (c, dElement V sowie k Element K. Der Nullvektor ist (0, 0).

Allgemein ist auch Kn ein Vektor­raum über K, also z.B. reelle Zahlen3 über reelle Zahlen oder boolesche Mengen über boolesche Menge.

Ferner ist die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus K ein Vektor­raum über K.

Die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren Menge M in K ist ein Vektor­raum über K.

Satz:  (Rechenregeln in V)

Es gilt für alle v Element V und k Element K:

v  =  0,

k·0  =  0,

(-1)·v  =  -v.

Beweis:  Es gilt

v  =  (0+0)·v  =  0·v + 0·v   |    -(0·v)

0  =  0·v

Ebenso gilt

k·0  =  k·(0+0)  =  k·0 + k·0   |    -(k·0)

0  =  k·0

 

Teilraum

Wenn eine Teilmenge U eines Vektor­raums V für sich genommen die Vektor­raum­axiome erfüllt, bildet sie einen Teilraum von V. Dies ist bereits dann der Fall, wenn sie hinsichtlich der Addition von Vektoren und Multiplikation mit Elementen des Körpers abgeschlossen ist.

Definition:  Sei V ein Vektor­raum über einem Körper K. Eine Teilmenge U enthalten V heißt Teilraum von V, wenn gilt

u + v  Element  U   für alle u, v Element U,

k·u  Element  U   für alle u Element U, k Element K.

Beispiel:  Die Menge aller Paare (a, 0) bildet einen Teilraum von reelle Zahlen2. Die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich3 ist ein Teilraum des Vektor­raums aller Polynome.

 

Linear­kombination

Definition:  Sei V ein Vektor­raum über einem Körper K und T eine Teilmenge von V. Ein Vektor u heißt Linear­kombination von T, wenn es endliche viele Vektoren v1, ..., vm Element T und Koeffizienten k1, ..., km Element Km Element natürliche Zahlen0 gibt mit

u  =  k1·v1 +  ... + km·vm.

Die Menge aller Linear­kombinationen von T wird als das Erzeugnis spitze Klammer aufTspitze Klammer zu von T bezeichnet.

Beispiel:  Der Vektor (3, 5) Element reelle Zahlen2 ist eine Linear­kombination von T = {(1, 0),  (0, 1)}, denn

(3, 5)  =  3·(1, 0) + 5·(0, 1).

Tatsächlich wird sogar reelle Zahlen2 von T erzeugt

reelle Zahlen2  =  spitze Klammer aufTspitze Klammer zu,

denn jeder Vektor (a, bElement reelle Zahlen2 ist Linear­kombination von T:

(a, b)  =  a·(1, 0) + b·(0, 1).

Wir lassen bei der Definition des Begriffs Linear­kombination auch den Fall m = 0 zu. Das Ergebnis einer Summation von 0 Summanden ist der Nullvektor. Der Nullvektor ist also stets Linear­kombination einer beliebigen Menge T.

Ist T = leere Menge, so ist der Nullvektor die einzig mögliche Linear­kombination. Es ist also spitze Klammer aufleere Mengespitze Klammer zu = {0}.

Satz:  Sei V ein Vektor­raum über einem Körper K und T eine Teilmenge von V. Dann ist das Erzeugnis spitze Klammer aufTspitze Klammer zu ein Teilraum von V.

Beweis:  Es ist zu zeigen, dass spitze Klammer aufTspitze Klammer zu hinsichtlich Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Seien u, v Element spitze Klammer aufTspitze Klammer zu. Dann sind u und v Linear­kombinationen von T :

u  =  j1·u1 +  ... + jm·um     mit   ui Element T,   ji Element K,

v  =  k1·v1 +  ... + kn·vn    mit   vi Element T,   ki Element K.

Damit ist aber auch u + v Linear­kombination von T und damit Element von spitze Klammer aufTspitze Klammer zu:

u + v  =  j1·u1 +  ... + jm·um + k1·v1 +  ... + kn·vn.

Gleiches gilt für k·u mit k Element K:

k·u  =  (k·k1u1 +  ... + (k·kmum.

 

Basis

Definition:  Sei T eine Teilmenge eines Vektor­raums V über einem Körper K. Die Menge T heißt linear abhängig, wenn der Nullvektor als Linear­kombination von T dargestellt werden kann, wobei mindestens ein Koeffizient ki ungleich 0 ist.
D.h. es gibt Vektoren v1, ..., vm Element T und Koeffizienten k1, ..., km, wobei m Element natürliche Zahlen und mindestens ein kiungleich0, so dass

0  =  k1·v1 +  ... + km·vm.

Eine Menge von Vektoren, die nicht linear abhängig ist, heißt linear unabhängig.

Mit den Vektoren einer linear unabhängigen Menge lässt sich der Nullvektor nicht darstellen, außer wenn alle Koeffizienten gleich 0 sind.

Beispiel:  Die Menge {(1,0), (0,2), (2,3)} enthalten reelle Zahlen2 ist linear abhängig, denn der Nullvektor hat die Darstellung

0  =  2·(1,0) + 1.5·(0,2) – 1·(2,3).

Bemerkung:  Die leere Menge ist linear unabhängig, denn es gibt keine Vektoren in der leeren Menge, durch die sich der Nullvektor darstellen lässt. Dagegen ist jede Menge, die den Nullvektor enthält, linear abhängig.

Definition:  Sei V ein Vektor­raum. Eine maximale Menge B von linear unabhängigen Vektoren aus V heißt Basis von V. Die Mächtigkeit von B heißt Dimension von V:

dim(V)  =  |B|.

Beispiel:  Die Menge B = {(1,0), (0,1)} ist Basis von reelle Zahlen2, d.h. reelle Zahlen2 hat die Dimension 2.

Die Menge {x0, x1, x2, x3, ... } ist Basis des Vektor­raums K[x] aller Polynome über einem Körper K. Somit ist dim(K[x]) = unendlich.

Bemerkung:  Stets ist {0}, die Menge, die nur aus dem Nullvektor besteht, ein Vektor­raum. Die leere Menge ist Basis dieses Vektor­raums, d.h. seine Dimension ist 0.

Satz:  Sei B eine Basis eines Vektor­raums V über K. Dann lässt sich jeder Vektor v Element V als Linear­kombination von Basisvektoren darstellen, d.h. B erzeugt V:

V = spitze Klammer aufB spitze Klammer zu.

Beweis:  Sei v Element V. Gilt v = bi für einen der Basisvektoren, so ist dieses die Darstellung. Ist v nicht in B enthalten, so ist B vereinigt {v} linear abhängig, denn B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V.

Der Nullvektor lässt sich also als Linear­kombination von B vereinigt {v} darstellen, wobei mindestens ein Koeffizient ki ungleich 0 ist. Insbesondere muss der Koeffizient von v ungleich 0 sein, denn mit den Basisvektoren allein lässt sich der Nullvektor nicht darstellen. D.h. es gibt Basisvektoren b1, ..., bm,  m Element natürliche Zahlen0 mit

0  =  k0·v + k1·b1 +  ... + km·bm.

Da k0ungleich0, lässt sich v darstellen als

v  =  -k1/k0·b1 –  ... – kn/k0·bn.

 

Skalarprodukt

Definition:  Sei V ein Vektor­raum über K. Eine Verknüpfung · : VkreuzV Pfeil K heißt Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigen­schaften hat:

  1. u · v  =  v · u,
  2. u·(v + w)   =  u · v + u · w,
  3. k·(u · v)  =  (k·u) · v

für alle u, v, w Element V und k Element K.

Man beachte wiederum die unter­schiedlichen Rollen der Zeichen + und ·, die gleichermaßen für die Verknüpfungen innerhalb von K, zwischen K und V, und innerhalb von V verwendet werden.

Definition:  In Kn ist das Skalarprodukt definiert als

u · v   =    Summe i = 1, ..., n    ui·vi

für alle u, v Element Kn.

Fasst man u und v als 1kreuzn-Matrizen auf, so entspricht das Skalarprodukt u · v dem Matrixprodukt u · vT.

Beispiel:  Sei V = reelle Zahlen3,   u = (1 2 0),   v = (3 4 5).  Dann ist

u · v   =   1·3 + 2·4 + 0·5   =   11.

Sei V = boolesche Menge5,   u = 1 0 0 1 1,   v = 1 0 1 1 0.  Dann ist

u · v   =   1·1 Exklusiv-Oder 0·0 Exklusiv-Oder 0·1 Exklusiv-Oder 1·1 Exklusiv-Oder 1·0   =   0.

Satz:  (Rechenregeln für das Skalarprodukt)

Es gilt für alle u, v Element V

(-uv  =  -(u·v)     und

v  =  0.

Die zweite Regel besagt, dass das Skalarprodukt zwischen dem Nullvektor und einem beliebigen Vektor v den Skalar 0 ergibt.

Beweis:  
(-uv    |   -u = (-1)·u
 = ((-1)·uv   |   Eigen­schaft 3 des Skalarprodukts anwenden
 = (-1)·(u·v)   |   Rechenregel aus K anwenden
 = -(u·v)
  
  
v    |   0 = v + (-v)
 = (v + (-v))·v   |   Eigen­schaft 2 des Skalarprodukts anwenden
 v·v + (-vv   |   Rechenregel s. o. anwenden
 v·v + (-(v·v))   |   additiv inverse Elemente in K
 = 0

 

Orthogonalität

Definition:  Sei V ein Vektor­raum. Zwei Vektoren x und y heißen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist:

u ⊥ v  genau dann wenn  u · v = 0.

Alle Vektoren sind orthogonal zum Nullvektor, insbesondere ist der Nullvektor orthogonal zu sich selbst.

Beispiel:  Sei V = reelle Zahlen2,   u = (1 2),   v = (-2 1).  Dann ist

u · v   =   1·(-2) + 2·1   =   0.

Interpretiert man den reelle Zahlen2 als die Menge der Ortsvektoren zu Punkten in der Ebene, so stehen orthogonale Vektoren senkrecht aufeinander.

Sei V = boolesche Mengen. Dann ist jeder Vektor mit einer geraden Anzahl von Einsen orthogonal zu sich selbst, z.B. u = 1 0 0 1:

u · u   =   1·1  Exklusiv-Oder  0·0  Exklusiv-Oder  0·0  Exklusiv-Oder  1·1   =   0

Definition:  Ein Vektor v Element V heißt orthogonal zu einem Teilraum U von V, wenn v zu allen Vektoren von U orthogonal ist.

Satz:  Die Menge der zu einem Teilraum U orthogonalen Vektoren bildet einen Teilraum U von V.

Ist dim(V) = n und dim(U) = k, so ist dim(U) = n – k.

U heißt Orthogonalraum von U.

 

 

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