Mathematische Grundlagen

Vektorraum

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Vektorraum

Ein Vektorraum V über einem Körper K ist im wesentlichen eine Menge, deren Elemente man addieren und mit den Elementen von K multi­plizieren kann. Die Elemente von V heißen Vektoren; die Elemente von K werden im Zusammenhang mit dem Vektorraum Skalare genannt.

Definition:  Sei K ein Körper. Eine Menge V heißt Vektorraum über K, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Wir verwenden dasselbe Zeichen + für die Addition in K wie auch für die Addition in V, ebenso dasselbe Zeichen · für die Multi­plikation in K wie auch für die Multi­plikation zwischen K und V. Auch die 0 bezeichnet einerseits das Nullelement 0 Element K und andererseits den Nullvektor 0 Element V.

Beispiel:  Die Menge der Paare (a, b) mit a, b Element K ist ein Vektorraum über K, d.h. V = K × K.

Hierbei sind die Addition in V und die Multi­plikation zwischen K und V komponenten­weise definiert:

(a, b) + (c, d)  =  (a+c, b+d)     und

k·(a, b)  =  (k·a, k·b)

für alle (a, b), (c, dElement V sowie k Element K. Der Nullvektor ist (0, 0).

Allgemein ist auch Kn ein Vektorraum über K, also z.B. reelle Zahlen3 über reelle Zahlen oder boolesche Werten über boolesche Werte.

Ferner ist die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus K ein Vektorraum über K.

Die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren Menge M in K ist ein Vektorraum über K.

Satz:  (Rechenregeln in V)

Es gilt für alle v Element V und k Element K:

v  =  0,

k·0  =  0,

(-1)·v  =  -v.

Beweis:  Es gilt

v  =  (0+0)·v  =  0·v + 0·v| -(0·v)

0  =  0·v

Ebenso gilt

k·0  =  k·(0+0)  =  k·0 + k·0| -(k·0)

0  =  k·0

Teilraum

Wenn eine Teilmenge U eines Vektorraums V für sich genommen die Vektorraum­axiome erfüllt, bildet sie einen Teilraum von V. Dies ist bereits dann der Fall, wenn sie hinsichtlich der Addition von Vektoren und Multi­plikation mit Elementen des Körpers abge­schlossen ist.

Definition:  Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Eine Teilmenge U enthalten in V heißt Teilraum von V, wenn gilt

u + v  Element  U   für alle u, v Element U,

k·u  Element  U   für alle u Element U, k Element K.

Beispiel:  Die Menge aller Paare (a, 0) bildet einen Teilraum von reelle Zahlen2. Die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich3 ist ein Teilraum des Vektorraums aller Polynome.

Linearkombination

Definition:  Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und T eine Teilmenge von V. Ein Vektor u heißt Linear­kombination von T, wenn es endliche viele Vektoren v1, ..., vm Element T und Koeffizienten k1, ..., km Element Km Element natürliche Zahlen0 gibt mit

u  =  k1·v1 +  ... + km·vm.

Die Menge aller Linear­kombinationen von T wird als das Erzeugnis spitze Klammer aufTspitze Klammer zu von T bezeichnet.

Beispiel:  Der Vektor (3, 5) Element reelle Zahlen2 ist eine Linear­kombination von T = {(1, 0),  (0, 1)}, denn

(3, 5)  =  3·(1, 0) + 5·(0, 1).

Tatsächlich wird sogar reelle Zahlen2 von T erzeugt

reelle Zahlen2  =  spitze Klammer aufTspitze Klammer zu,

denn jeder Vektor (a, bElement reelle Zahlen2 ist Linear­kombination von T:

(a, b)  =  a·(1, 0) + b·(0, 1).

Wir lassen bei der Definition des Begriffs Linear­kombination auch den Fall m = 0 zu. Das Ergebnis einer Summation von 0 Summanden ist der Nullvektor. Der Nullvektor ist also stets Linear­kombination einer beliebigen Menge T.

Ist T =  leere Menge , so ist der Nullvektor die einzig mögliche Linear­kombination. Es ist also spitze Klammer auf leere Menge spitze Klammer zu = {0}.

Satz:  Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und T eine Teilmenge von V. Dann ist das Erzeugnis spitze Klammer aufTspitze Klammer zu ein Teilraum von V.

Beweis:  Es ist zu zeigen, dass spitze Klammer aufTspitze Klammer zu hinsichtlich Addition und Multi­plikation abge­schlossen ist.

Seien u, v Element spitze Klammer aufTspitze Klammer zu. Dann sind u und v Linear­kombinationen von T :

u  =  j1·u1 +  ... + jm·um     mit   ui Element T,   ji Element K,

v  =  k1·v1 +  ... + kn·vn    mit   vi Element T,   ki Element K.

Damit ist aber auch u + v Linear­kombination von T und damit Element von spitze Klammer aufTspitze Klammer zu:

u + v  =  j1·u1 +  ... + jm·um + k1·v1 +  ... + kn·vn.

Gleiches gilt für k·u mit k Element K:

k·u  =  (k·k1u1 +  ... + (k·kmum.

Basis

Definition:  Sei T eine Teilmenge eines Vektorraums V über einem Körper K. Die Menge T heißt linear abhängig, wenn der Nullvektor als Linear­kombination von T dargestellt werden kann, wobei mindestens ein Koeffizient ki ungleich 0 ist.
D.h. es gibt Vektoren v1, ..., vm Element T und Koeffizienten k1, ..., km, wobei m Element natürliche Zahlen und mindestens ein ki ≠ 0, so dass

0  =  k1·v1 +  ... + km·vm.

Eine Menge von Vektoren, die nicht linear abhängig ist, heißt linear unabhängig.

Mit den Vektoren einer linear unabhängigen Menge lässt sich der Nullvektor nicht darstellen, außer wenn alle Koeffizienten gleich 0 sind.

Beispiel:  Die Menge {(1,0), (0,2), (2,3)} enthalten in reelle Zahlen2 ist linear abhängig, denn der Nullvektor hat die Darstellung

0  =  2·(1,0) + 1.5·(0,2) – 1·(2,3).

Bemerkung:  Die leere Menge ist linear unabhängig, denn es gibt keine Vektoren in der leeren Menge, durch die sich der Nullvektor darstellen lässt. Dagegen ist jede Menge, die den Nullvektor enthält, linear abhängig.

Definition:  Sei V ein Vektorraum. Eine maximale Menge B von linear unabhängigen Vektoren aus V heißt Basis von V. Die Mächtigkeit von B heißt Dimension von V:

dim(V)  =  |B|.

Beispiel:  Die Menge B = {(1,0), (0,1)} ist Basis von reelle Zahlen2, d.h. reelle Zahlen2 hat die Dimension 2.

Die Menge {x0, x1, x2, x3, ... } ist Basis des Vektorraums K[x] aller Polynome über einem Körper K. Somit ist dim(K[x]) = unendlich.

Bemerkung:  Stets ist {0}, die Menge, die nur aus dem Nullvektor besteht, ein Vektorraum. Die leere Menge ist Basis dieses Vektorraums, d.h. seine Dimension ist 0.

Satz:  Sei B eine Basis eines Vektorraums V über K. Dann lässt sich jeder Vektor v Element V als Linear­kombination von Basis­vektoren darstellen, d.h. B erzeugt V:

V = spitze Klammer aufB spitze Klammer zu.

Beweis:  Sei v Element V. Gilt v = bi für einen der Basis­vektoren, so ist dieses die Darstellung. Ist v nicht in B enthalten, so ist B vereinigt {v} linear abhängig, denn B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V.

Der Nullvektor lässt sich also als Linear­kombination von B vereinigt {v} darstellen, wobei mindestens ein Koeffizient ki ungleich 0 ist. Insbesondere muss der Koeffizient von v ungleich 0 sein, denn mit den Basis­vektoren allein lässt sich der Nullvektor nicht darstellen. D.h. es gibt Basis­vektoren b1, ..., bm,  m Element natürliche Zahlen0 mit

0  =  k0·v + k1·b1 +  ... + km·bm.

Da k0 ≠ 0, lässt sich v darstellen als

v  =  -k1/k0·b1 –  ... – kn/k0·bn.

Skalarprodukt

Definition:  Sei V ein Vektorraum über K. Eine Verknüpfung · : V × V Pfeil nach rechts K heißt Skalar­produkt, wenn sie folgende Eigen­schaften hat:

  1. u · v  =  v · u,
  2. u·(v + w)   =  u · v + u · w,
  3. k·(u · v)  =  (k·u) · v

für alle u, v, w Element V und k Element K.

Man beachte wiederum die unter­schiedlichen Rollen der Zeichen + und ·, die gleicher­maßen für die Ver­knüpfungen innerhalb von K, zwischen K und V, und innerhalb von V verwendet werden.

Definition:  In Kn ist das Skalar­produkt definiert als

u · v   =    Summe i = 1, ..., n    ui·vi

für alle u, v Element Kn.

Fasst man u und v als 1 × n-Matrizen auf, so entspricht das Skalar­produkt u · v dem Matrix­produkt u · vT.

Beispiel:  Sei V = reelle Zahlen3,   u = (1 2 0),   v = (3 4 5).  Dann ist

u · v   =   1·3 + 2·4 + 0·5   =   11.

Sei V = boolesche Werte5,   u = 1 0 0 1 1,   v = 1 0 1 1 0.  Dann ist

u · v   =   1·1 entweder oder 0·0 entweder oder 0·1 entweder oder 1·1 entweder oder 1·0   =   0.

Satz:  (Rechenregeln für das Skalar­produkt)

Es gilt für alle u, v Element V

(-uv  =  -(u·v)     und

v  =  0.

Die zweite Regel besagt, dass das Skalar­produkt zwischen dem Nullvektor und einem beliebigen Vektor v den Skalar 0 ergibt.

Beweis:  

(-uv  | -u = (-1)·u
 = ((-1)·uv| Eigenschaft 3 des Skalar­produkts anwenden
 = (-1)·(u·v)| Rechenregel aus K anwenden
 = -(u·v) 
   
   
v  | 0 = v + (-v)
 = (v + (-v))·v| Eigenschaft 2 des Skalar­produkts anwenden
 v·v + (-vv| Rechenregel s. o. anwenden
 v·v + (-(v·v))| additiv inverse Elemente in K
 = 0 

Orthogonalität

Definition:  Sei V ein Vektorraum. Zwei Vektoren x und y heißen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalar­produkt gleich 0 ist:

u orthogonal v  genau dann wenn  u · v = 0.

Alle Vektoren sind orthogonal zum Nullvektor, insbesondere ist der Nullvektor orthogonal zu sich selbst.

Beispiel:  Sei V = reelle Zahlen2,   u = (1 2),   v = (-2 1).  Dann ist

u · v   =   1·(-2) + 2·1   =   0.

Inter­pretiert man den reelle Zahlen2 als die Menge der Ortsvektoren zu Punkten in der Ebene, so stehen orthogonale Vektoren senkrecht aufeinander.

Sei V = boolesche Werten. Dann ist jeder Vektor mit einer geraden Anzahl von Einsen orthogonal zu sich selbst, z.B. u = 1 0 0 1:

u · u   =   1·1  entweder oder  0·0  entweder oder  0·0  entweder oder  1·1   =   0

Definition:  Ein Vektor v Element V heißt orthogonal zu einem Teilraum U von V, wenn v zu allen Vektoren von U orthogonal ist.

Satz:  Die Menge der zu einem Teilraum U orthogonalen Vektoren bildet einen Teilraum Uorthogonal von V.

Ist dim(V) = n und dim(U) = k, so ist dim(Uorthogonal) = n – k.

Uorthogonal heißt Orthogonal­raum von U.

 

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