Mathematische Grundlagen

Definition:  Sei K ein Körper. Eine Menge V heißt Vektor­raum über K, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. (V, +, 0) ist eine abelsche Gruppe,
2. es ist eine Verknüpfung  ·  : KV  V  definiert mit folgenden Eigen­schaften:
   1. ist 1 das Einselement von K, so gilt für alle v  V
      • 1·v  =  v,
   2. für alle j, k  K und v  V gilt
      • (j + k)·v  =  j·v + k·v     und
      • (j·k)·v  =  j·(k·v),
   3. für alle k  K und u, v  V gilt
      • k·(u + v)  =  k·u + k·v.

Beispiel:  Die Menge der Paare (a, b) mit a, b  K ist ein Vektor­raum über K, d.h. V = KK.

Hierbei sind die Addition in V und die Multiplikation zwischen K und V komponenten­weise definiert:

(a, b) + (c, d)  =  (a+c, b+d)     und

k·(a, b)  =  (k·a, k·b)

für alle (a, b), (c, d)  V sowie k  K. Der Nullvektor ist (0, 0).

Allgemein ist auch Kⁿ ein Vektor­raum über K, also z.B. ³ über oder ⁿ über .

Ferner ist die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus K ein Vektor­raum über K.

Die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren Menge M in K ist ein Vektor­raum über K.

Satz:  (Rechenregeln in V)

Es gilt für alle v  V und k  K:

0·v  =  0,

k·0  =  0,

(-1)·v  =  -v.

Beweis:  Es gilt

0·v  =  (0+0)·v  =  0·v + 0·v   |    -(0·v)

0  =  0·v

Ebenso gilt

k·0  =  k·(0+0)  =  k·0 + k·0   |    -(k·0)

0  =  k·0

Definition:  Sei V ein Vektor­raum über einem Körper K. Eine Teilmenge U  V heißt Teilraum von V, wenn gilt

u + v    U   für alle u, v  U,

k·u    U   für alle u  U, k  K.

Beispiel:  Die Menge aller Paare (a, 0) bildet einen Teilraum von ². Die Menge aller Polynome vom Grad 3 ist ein Teilraum des Vektor­raums aller Polynome.

Definition:  Sei V ein Vektor­raum über einem Körper K und T eine Teilmenge von V. Ein Vektor u heißt Linear­kombination von T, wenn es endliche viele Vektoren v₁, ..., v_m  T und Koeffizienten k₁, ..., k_m  K,  m  ₀ gibt mit

u  =  k₁·v₁ +  ... + k_m·v_m.

Die Menge aller Linear­kombinationen von T wird als das Erzeugnis T von T bezeichnet.

Beispiel:  Der Vektor (3, 5)  ² ist eine Linear­kombination von T = {(1, 0),  (0, 1)}, denn

(3, 5)  =  3·(1, 0) + 5·(0, 1).

Tatsächlich wird sogar ² von T erzeugt

²  =  T,

denn jeder Vektor (a, b)  ² ist Linear­kombination von T:

(a, b)  =  a·(1, 0) + b·(0, 1).

Satz:  Sei V ein Vektor­raum über einem Körper K und T eine Teilmenge von V. Dann ist das Erzeugnis T ein Teilraum von V.

Beweis:  Es ist zu zeigen, dass T hinsichtlich Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Seien u, v  T. Dann sind u und v Linear­kombinationen von T :

u  =  j₁·u₁ +  ... + j_m·u_m     mit   u_i  T,   j_i  K,

v  =  k₁·v₁ +  ... + k_n·v_n    mit   v_i  T,   k_i  K.

Damit ist aber auch u + v Linear­kombination von T und damit Element von T:

u + v  =  j₁·u₁ +  ... + j_m·u_m + k₁·v₁ +  ... + k_n·v_n.

Gleiches gilt für k·u mit k  K:

k·u  =  (k·k₁)·u₁ +  ... + (k·k_m)·u_m.

Definition:  Sei T eine Teilmenge eines Vektor­raums V über einem Körper K. Die Menge T heißt linear abhängig, wenn der Nullvektor als Linear­kombination von T dargestellt werden kann, wobei mindestens ein Koeffizient k_i ungleich 0 ist.
D.h. es gibt Vektoren v₁, ..., v_m  T und Koeffizienten k₁, ..., k_m, wobei m   und mindestens ein k_i0, so dass

0  =  k₁·v₁ +  ... + k_m·v_m.

Eine Menge von Vektoren, die nicht linear abhängig ist, heißt linear unabhängig.

Beispiel:  Die Menge {(1,0), (0,2), (2,3)}  ² ist linear abhängig, denn der Nullvektor hat die Darstellung

0  =  2·(1,0) + 1.5·(0,2) – 1·(2,3).

Bemerkung:  Die leere Menge ist linear unabhängig, denn es gibt keine Vektoren in der leeren Menge, durch die sich der Nullvektor darstellen lässt. Dagegen ist jede Menge, die den Nullvektor enthält, linear abhängig.

Definition:  Sei V ein Vektor­raum. Eine maximale Menge B von linear unabhängigen Vektoren aus V heißt Basis von V. Die Mächtigkeit von B heißt Dimension von V:

dim(V)  =  |B|.

Beispiel:  Die Menge B = {(1,0), (0,1)} ist Basis von ², d.h. ² hat die Dimension 2.

Die Menge {x⁰, x¹, x², x³, ... } ist Basis des Vektor­raums K[x] aller Polynome über einem Körper K. Somit ist dim(K[x]) = .

Bemerkung:  Stets ist {0}, die Menge, die nur aus dem Nullvektor besteht, ein Vektor­raum. Die leere Menge ist Basis dieses Vektor­raums, d.h. seine Dimension ist 0.

Satz:  Sei B eine Basis eines Vektor­raums V über K. Dann lässt sich jeder Vektor v  V als Linear­kombination von Basisvektoren darstellen, d.h. B erzeugt V:

V = B .

Beweis:  Sei v  V. Gilt v = b_i für einen der Basisvektoren, so ist dieses die Darstellung. Ist v nicht in B enthalten, so ist B  {v} linear abhängig, denn B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V.

Der Nullvektor lässt sich also als Linear­kombination von B  {v} darstellen, wobei mindestens ein Koeffizient k_i ungleich 0 ist. Insbesondere muss der Koeffizient von v ungleich 0 sein, denn mit den Basisvektoren allein lässt sich der Nullvektor nicht darstellen. D.h. es gibt Basisvektoren b₁, ..., b_m,  m  ₀ mit

0  =  k₀·v + k₁·b₁ +  ... + k_m·b_m.

Da k₀0, lässt sich v darstellen als

v  =  -k₁/k₀·b₁ –  ... – k_n/k₀·b_n.

Definition:  Sei V ein Vektor­raum über K. Eine Verknüpfung · : VV  K heißt Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigen­schaften hat:

für alle u, v, w  V und k  K.

Definition:  In Kⁿ ist das Skalarprodukt definiert als

u · v   =     _{i = 1, ..., n}    u_i·v_i

für alle u, v  Kⁿ.

Fasst man u und v als 1n-Matrizen auf, so entspricht das Skalarprodukt u · v dem Matrixprodukt u · v^T.

Beispiel:  Sei V = ³,   u = (1 2 0),   v = (3 4 5).  Dann ist

u · v   =   1·3 + 2·4 + 0·5   =   11.

Sei V = ⁵,   u = 1 0 0 1 1,   v = 1 0 1 1 0.  Dann ist

u · v   =   1·1 0·0 0·1 1·1 1·0   =   0.

Satz:  (Rechenregeln für das Skalarprodukt)

Es gilt für alle u, v  V

(-u)·v  =  -(u·v)     und

0·v  =  0.

Die zweite Regel besagt, dass das Skalarprodukt zwischen dem Nullvektor und einem beliebigen Vektor v den Skalar 0 ergibt.

Beweis:  

(-u)·v			|	-u = (-1)·u
		= ((-1)·u)·v	|	Eigen­schaft 3 des Skalarprodukts anwenden
		= (-1)·(u·v)	|	Rechenregel aus K anwenden
		= -(u·v)
0·v			|	0 = v + (-v)
		= (v + (-v))·v	|	Eigen­schaft 2 des Skalarprodukts anwenden
		= v·v + (-v)·v	|	Rechenregel s. o. anwenden
		= v·v + (-(v·v))	|	additiv inverse Elemente in K
		= 0

Definition:  Sei V ein Vektor­raum. Zwei Vektoren x und y heißen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist:

u ⊥ v    u · v = 0.

Beispiel:  Sei V = ²,   u = (1 2),   v = (-2 1).  Dann ist

u · v   =   1·(-2) + 2·1   =   0.

Interpretiert man den ² als die Menge der Ortsvektoren zu Punkten in der Ebene, so stehen orthogonale Vektoren senkrecht aufeinander.

Sei V = ⁿ. Dann ist jeder Vektor mit einer geraden Anzahl von Einsen orthogonal zu sich selbst, z.B. u = 1 0 0 1:

u · u   =   1·1    0·0    0·0    1·1   =   0

Definition:  Ein Vektor v  V heißt orthogonal zu einem Teilraum U von V, wenn v zu allen Vektoren von U orthogonal ist.

Satz:  Die Menge der zu einem Teilraum U orthogonalen Vektoren bildet einen Teilraum U^⊥ von V.

Ist dim(V) = n und dim(U) = k, so ist dim(U^⊥) = n – k.